माना y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{y | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + y^3(1 + \log_e x)$ है।इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = (1 + \log_e x

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$\frac{x^2}{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + y^3(1 + \log_e x)$ है।इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = (1 + \log_e x)y^3$ प्राप्त होता है।$y^3$ से भाग देने पर: $y^{-3}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y^{-2} = 1 + \log_e x$.माना $t = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$. तब $\frac{dt}{dx} = -2y^{-3}\frac{dy}{dx}$,अतः $y^{-3}\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}\frac{dt}{dx}$.समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{2}\frac{dt}{dx} - \frac{1}{x}t = 1 + \log_e x$,जो सरल होकर $\frac{dt}{dx} + \frac{2}{x}t = -2(1 + \log_e x)$ हो जाता है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2\log_e x} = x^2$.हल $t \cdot x^2 = \int -2(1 + \log_e x)x^2 dx$ है।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x^2(1 + \log_e x) dx = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \frac{x^3}{9}$.अतः,$\frac{x^2}{y^2} = -2[\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{3}\log_e x - \frac{x^3}{9}] + C = -2[\frac{2x^3}{9} + \frac{x^3}{3}\log_e x] + C = -\frac{4x^3}{9} - \frac{2x^3}{3}\log_e x + C$.चूँकि $y(1) = 3$ दिया गया है,$\frac{1}{9} = -\frac{4}{9} - 0 + C \Rightarrow C = \frac{5}{9}$.इस प्रकार,$\frac{x^2}{y^2} = \frac{5 - 4x^3 - 6x^3\log_e x}{9} = \frac{5 - 2x^3(2 + 3\log_e x)}{9} = \frac{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}{9}$.अतः,$\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}$.

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(1 + xy^2(1 + \log_e x))$ का हल वक्र है,जहाँ $x > 0$ और $y(1) = 3$ है। तो $\frac{y^2(x)}{9}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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एक फलन $y = f(x)$ अवकल समीकरण $f(x) \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) f'(x) = 0$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(0) = 0$ है। तो $f(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ का हल है और प्रारंभिक शर्त $x(1) = 0$ है,तो $x(e)$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

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